Hay 365 fechas posibles, pero hacen falta muchas menos personas de las que imaginas para que un cumpleaños repetido sea la opción más probable.
Los cumpleaños tienen algo curioso: son completamente normales hasta que coinciden. Basta descubrir que otra persona nació exactamente el mismo día que nosotros para que aparezca esa pequeña sensación de casualidad extraordinaria, como si entre los 365 días disponibles hubiera hecho falta una alineación especial para acabar en la misma casilla del calendario.
La intuición parece estar de nuestra parte. Si un año tiene 365 días, juntar a veinte, treinta o incluso cincuenta personas debería dejar todavía muchísimo espacio libre para repartir cumpleaños sin repetir ninguno.
Pero las matemáticas tienen otros planes y la respuesta es sorprendentemente pequeña: 23 personas.
Con un grupo de solo 23 personas, la probabilidad de que al menos dos compartan fecha de cumpleaños alcanza aproximadamente el 50,73%. Es decir, a partir de ahí la coincidencia deja de ser la opción menos probable y pasa, por muy poco, a ganar la partida.
Para hacer el cálculo vamos a utilizar el modelo clásico de la llamada paradoja del cumpleaños. Supondremos que existen 365 posibles días de cumpleaños y, para simplificar, omitiremos el 29 de febrero.
A primera vista, comparar 23 personas con 365 fechas parece confirmar nuestra intuición: quedan cientos de días disponibles. El error está en pensar que estamos comparando a cada persona con el calendario cuando en realidad estamos comparando a cada persona con todas las demás.
El cálculo
Para llegar a la cifra de 23, resulta más sencillo plantearnos la pregunta al revés: ¿qué probabilidad hay de que todas las personas tengan cumpleaños diferentes? Para calcularla, iremos incorporando a cada persona al grupo y comprobando cuántas fechas de cumpleaños siguen disponibles.
La primera persona puede haber nacido cualquier día del año. Cuando llega la segunda, tiene 364 días disponibles para no coincidir con ella. Si ambas tienen cumpleaños distintos, la tercera solo dispone de 363 fechas que no han aparecido todavía, y así sucesivamente.
Con 23 personas, la probabilidad de que todos tengan cumpleaños diferentes se calcula multiplicando:
El resultado es aproximadamente un 49,27%.
Por tanto, solo tenemos que calcular la situación contraria:
Es decir, con solo 23 personas reunidas, ya es ligeramente más probable encontrar al menos dos cumpleaños iguales que encontrarlos todos diferentes.
Lo curioso es que 23 no tiene ninguna relación especial con el calendario. No es una fracción evidente de 365 ni un número escondido en las fechas. Simplemente es el punto en el que la enorme cantidad de posibles parejas consigue que la probabilidad acumulada de coincidencia supere el 50%.
Del 50% al 99% en pocas personas
Una vez atravesada la frontera del 50%, la probabilidad empieza a crecer muy deprisa. No necesitamos reunir cien personas para que la coincidencia resulte prácticamente segura. Ni siquiera setenta.
Con 32 personas, la probabilidad ya alcanza aproximadamente el 75%. Con 41 personas, supera el 90%. Y con 57 personas obtenemos nuestro segundo gran número: 99% de probabilidad.
Solo hacen falta 57 personas reunidas para que exista al menos un 99% de probabilidades de que dos de ellas compartan cumpleaños.
¿Y si tienen que cumplir años el mismo día que tú?
Hasta ahora hemos permitido que cualquiera coincida con cualquiera, pero sería lógico preguntarnos: ¿y si queremos saber qué posibilidades hay de que alguien cumpla años el mismo día que nosotros?
Imaginemos nuevamente un grupo de 23 personas, pero esta vez tú eres una de ellas. Solo nos interesan las 22 personas que pueden coincidir contigo.
La probabilidad de que al menos una de esas 22 personas comparta específicamente tu cumpleaños se obtiene con:
El resultado es aproximadamente un 5,9%, frente al 50,7% de encontrar alguna coincidencia dentro del grupo.
La diferencia es enorme y explica buena parte de la paradoja: nuestra intuición tiende a colocarnos en el centro del problema, mientras que el cálculo original compara a todos con todos.
De hecho, para superar el 50% de probabilidades de encontrar a alguien que comparta específicamente tu cumpleaños necesitarías estar acompañado por unas 253 personas, es decir, un grupo de unas 254 personas contando contigo.